¿Qué se entiende por punto, recta y plano?

A lo largo de los años se han tratado de conceptualizar los términos punto, recta y plano, pero no tenemos definido lo que en realidad es cada uno de ellos, en nuestro diario vivir los aplicamos desconociendo exactamente el significado, encontrando una forma de definición según su aplicación.

Euclides los llamo términos primitivos, ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares, así es posible elaborar conceptos de cada uno de ellos tomando su aplicación en cada caso.

Tomando ejemplos de nuestro vivir y necesidades de aplicación, algunas veces indicamos un punto de encuentro cuando se tiene reunión de cualquier tipo mencionando el lugar de reunión de cada una de las personas, cuando enseñamos la recta numérica utilizamos también este término para señalar donde graficar valores, también al usar el transporte realizamos un desplazamiento en vehiculo o u otros, tomamos rutas alternas, e indicamos que nos hemos desplazado de un punto a otro ya sea en línea recta o curva, cuando se construye un edificio o se realiza la compra de un terreno, mencionamos plano refiriéndonos a como quedara el edificio o para conocer las medidas y colindancias del terreno.

Para finalizar la comprensión de los términos ejemplificados anteriormente, se entenderá por punto a la representación de una sección (posición o lugar),  como recta a la sucesión indefinida de puntos en una sola dirección, también como distancia entre 2 puntos, que pose una sola dimensión, que no tiene grosor solo una medida de largo. Ambos se pueden representar en un plano el cual consta de dos dimensiones, alto y ancho, no contiene grosor y a partir de este se pueden representar figuras planas (solamente de 2 dimensiones), mapas, dibujos, etc.…

La cartografía es un claro ejemplo de cómo se utiliza el plano para ubicar sus posiciones, debido a que cada uno de los puntos indica las localidades, puertos, aeropuertos, ciudades, etc., donde tienen que llegar (navegación, aviación) y las direcciones lineales o curvas que deberán tomar para llegar al  lugar de destino.

Poco es lo que sabemos al definir o entender el concepto de punto, recta y plano, pero el uso combinado de cada uno de ellos cubre a plenitud la necesidad en las distintas áreas y casos de aplicación.

Bibliografía

http://schools.ccsd.net/knudson/spanish/vmd/full/p/plane.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana

Microsoft Encarta 2008. Sección Geometría definición de punto, recta y plano.

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Si estamos entre matemáticos, la palabra inducción nos sugiere el Principio de Inducción Matemática: Si una propiedad vale para 0 y si siempre que la propiedad vale para un número (natural) vale para su sucesor, entonces la propiedad vale para todos los números (naturales). Este famoso principio se hizo especialmente conocido como uno de los cinco postulados de Peano.

1.     1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números naturales no es vacío)

2.     Si a es un número natural, entonces a+1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).

3.     1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto)

4.     Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.

5.     Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

La Inducción matemática es definitivamente una forma de deducción. Es una inducción en el sentido en que generaliza a toda una clase a partir de unos pocos ejemplos. Es mas, usualmente la muestra está conformada por un caso, y la clase total es infinita!

La inducción matemática es deductiva, porque la muestra mas una regla acerca de los casos no examinados realmente da información sobre todo elemento de la clase. Así la conclusión de una inducción matemática no contiene más información que la que hay en las premisas. La inducción matemática por lo tanto concluye con certeza deductiva.

Un número es cualquier cosa que sea el número de una clase. En teoría axiomática de conjuntos un número natural es un elemento del mínimo conjunto inductivo, conjunto al que se le da el nombre de conjunto de los números naturales; por inductivo se entiende un conjunto S al que pertenece 0 y tal que si n pertenece a S, n + 1 también pertenece. Con esta definición lo que se está aceptando es que el principio de inducción matemática es inherente al concepto de número natural.

Como bien sabemos para probar una proposición por inducción procedemos como sigue: Mostramos que vale para 0, (o 1 o un determinado número). Luego suponemos que si es cierto para un número n mayor que 0 (o 1 o un determinado número), entonces probamos que vale para n+1. Entonces concluimos que vale para todos los números mayores que 0 (o 1 o un determinado número).

Consideremos una lista p (l), p (2), p (3),... de proposiciones con índices en P. Todas las proposiciones p(n) son verdaderas a condición de que:

§  (B)    p(l) sea verdadera;

§  (I)      p(n + 1) sea verdadera siempre que p (n) sea verdadera.

Nos referiremos a (B); es decir, al hecho que p (l) es verdadera, como la base de la inducción y nos referiremos a (1) como el paso inductivo. En la notación del cálculo preposicional, el paso inductivo es equivalente a:     

La implicación p(n) → p (n + 1) es verdadera para todo n € P.

Ejemplo #1:

Los números obtenidos como se observa en la progresión anterior se llaman triangulares y como vemos se pueden obtener de dos maneras diferentes. Esas igualdades se pueden generalizar hoy con la fórmula:

Demostraremos que:

1+2+3+............+n = [n(n+1)]/2,       “n perteneciente a los naturales (*)

1= [1(1+1)]/2.      Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:

1+2+3+.........+k = [k (k+1)]/2                   (Hipótesis de inducción).

Demostremos que k-1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

1+2+3+.........+k+ (k+1) = [(k+1) (k+2)]/2

Demostración:

(1+2+3+.......+k)+ (K+1) = [k (k+1)]/2 + (k+1)

= [k (k+1)+2(k+1)]/2

= [(k+1) (k+2)]/2

Luego la proposición (*) es verdadera "n perteneciente a los naturales.

Observe que el Principio de inducción matemática no es en sí mismo una prueba de que p(n) sea verdadera para toda n, pero nos dice que si de alguna manera podemos mostrar (B) e (I), entonces las p(n) son verdaderas. Entonces nuestro trabajo reside en mostrar (B) e (I) que deben verificarse antes de poder aplicar el Principio de la inducción matemática. En la práctica, es común que (B) sea fácil de verificar.

Ejemplo #2:

Los números que hoy conocemos como cuadrados recibieron su nombre en la época de los pitagóricos justamente porque se podían distribuir, como si fueran colecciones de puntos, en forma de cuadrado. Y esa progresión de cuadrados se obtiene sumando los números impares sucesivos.

Hay dos ingredientes básicos para una demostración inductiva válida: la base y el paso inductivo. Además, por si hay alguna duda posible, debe  quedar claro que se está dando una demostración por inducción.

Es importante enfatizar, que no demostramos que “p(n + 1) es verdadera." Simplemente  demostramos una implicación: “si p(n) es verdadera entonces p(n + 1) es verdadera. En cierto sentido demostramos una infinidad de afirmaciones; a saber: p(l): si p(1) es verdadera entonces p(2) es verdadera; si p(2) es verdadera  entonces p(3) es verdadera; si p(3) es verdadera entonces p(4) es verdadera, etc. A continuación aplicamos la inducción matemática para concluir: p (1) es verdadera; p (2) es verdadera; p (3) es verdadera; p (4) es verdadera; etc.

El Principio de inducción matemática es igualmente válido si los índices comienzan con algún entero m distinto de 1: Todas las proposiciones  p (m), p (m + 1), p (m + 2),. . . son verdaderas a condición que:

§  (B)    p(m) es verdadera:

§  (I)      p(n) implica p (n + 1) para toda n ≥ m.

Con frecuencia utilizamos esto con m ≥ 0; es decir, cuando las proposiciones p(n) están indicadas por el conjunto N.

El análisis del método de inducción sugiere algunas variantes. Por ejemplo, en la primera etapa, el valor inicial no necesariamente tiene que ser 1. Si en la primera etapa probamos (por ejemplo) que la propiedad se cumple para n = 10, el método de Inducción nos garantiza que la propiedad se cumple únicamente para n = 10, 11, 12,..., y si probásemos que la propiedad se cumple para n = -3, el método de Inducción nos garantiza que la propiedad se cumple para n = -3, -2, -1, 0, 1, 2,... Sin embargo, en la mayoría de los problemas el paso inicial es n=0 o n=1.

La segunda etapa también es susceptible de modificación. Un ejemplo seria probar que si la propiedad se cumple para algún entero k, se cumple para k+2. En este caso, suponiendo que el valor inicial fuese n = 1, habríamos probado que la propiedad se cumple para n = 1, 3, 5, 7... (Cerciorarse de este hecho). Sin embargo, las modificaciones a la segunda etapa son bastante raras, y con frecuencia pueden evitarse escogiendo adecuadamente la variable de inducción.

Si bien es cierto que la segunda etapa es la que “demuestra” que la propiedad se cumple, la primera tiene una importancia fundamental. Un error común es dar por sentada la primera parte del método y comprobar únicamente la segunda. Este es un error que se debe evitar, pues es necesario tener un punto inicial para que la inducción pueda funcionar.

Ejercicio #3:

Demuestre usando inducción que:

2 + 4+ 6 + 8+..........+ 2n = n(n+1)

·         2 i = n(n+1)

i =1

n=1

“2*1 = 1(1+1)

i =1

·         = 1*2

·         = 2

Suponer valido para n = k

“2i = k (k+1)                 Esto es la hipótesis

i =1

Demostrar para n = k+1

“2i = (k+1) (k+2)

“2i = " 2i + 2(k+1)

= k (k+1) + 2(k+1)

= (k+1) (k+2)

Este proceso puede compararse a una escalera, donde la primera etapa nos da el primer peldaño, y la segunda etapa construye nuevos peldaños a partir de los anteriores. La primera etapa prueba que la propiedad se cumple para n = 1, dándonos un punto de partida. La segunda etapa dice que si sabemos que la propiedad se cumple para algún entero, se cumple para el siguiente. ¡Pero la primera etapa nos dice que la propiedad se cumple para n=1!

Entonces podemos asegurar que la propiedad se cumple para el siguiente entero, es decir, n=2. Como la propiedad se cumple para n=2, la segunda etapa nos dice que se cumple para el siguiente, n=3. Como ahora ya sabemos que se cumple para n=3, la segunda etapa nos dice que la propiedad se cumple para n=4, y así sucesivamente. Esto basta para asegurar que la propiedad se cumple para n=1, 2, 3, 4,..., ya que no importa qué número escojamos, en algún momento la escalera “alcanza” ese número.

Ejercicio #4:

Sean A₁, A₂, A₃,…, A_n n subconjunto cualesquiera de un conjunto U. se demostrará por inducción que:

 Ley de De Morgan generalizada para conjuntos

Sea P(n) la proposición que dice que la igualdad se cumple para cualesquiera n subconjuntos de U dados.

Se probará, por inducción, que P(n) es siempre verdadera para n ≥ 1.

Paso básico: Si n = 1, el resultado es trivial

Paso de inducción: Supóngase que P(n) es verdadera para alguna n ≥ 1, sean A₁, A₂, A₃,…, A_n, n + 1 subconjuntos cualesquiera de U. por tanto, si B = A₁UA₂UA₃U…UA_n. Se tiene:

Por consiguiente, P(n + 1) es verdadera, por inducción, P(n) es verdadera para todas las n ≥ 1.

BIBLIOGRAFÍA:

§  Kenneth A. Ross y Charles R. B. Wright. “Matemáticas Discretas” Prentice Hall, Estados Unidos, 1988.

§  Kolman, B. y Busby, R. C. “Discrete Mathematical Structures for Computer Science” Prentice Hall Inc. Estados Unidos, 1984.

§  Johnsonbaugh, Richard. “Matemáticas Discretas” Grupo Editorial Iberoamérica.

Razonamiento Matematico

Trucos mente:

Razonamiento matemático 

Descripción:
Capacidad para realizar operaciones de carácter matemático con fluidez y exactitud utilidad sirve para realizar problemas matemáticos y para extraer conclusiones lógicas precisas, ahorrando esfuerzo y tiempo
Características:
Incluye operaciones de diversos tipos: operaciones matemáticas simples y complejas, resolución de problemas matemáticos, series de números, cálculo de probabilidades y predicciones matemáticas ejercicios preparatorios
Encuentre la solución a los siguientes problemas
1. Siga la siguiente secuencia: 40 20 60 30 90....
2. Si ahora son las 12 y media del mediodía ¿qué hora será dentro de 230 horas?
3. para contar las hormigas de un jardín se utilizaron 16 dígitos ¿cuantas hormigas hay en el jardín?
4. Realice la siguiente operación: (23 (456+4356)) /( 321 x 1009)
5. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 3456?
6. ¿Qué probabilidad existe de que un dado de tres veces consecutivas el mismo resultado?  (los resultados de los ejercicios, los encontrara al final de la ficha) ejercicios de mantenimiento la mejor forma para mantener el razonamiento matemático a raya es desterrar el uso de la calculadora y, poco a poco, olvidarse también del lápiz y del papel. Las ecuaciones y las operaciones mentales básicas y rápidas, como la conversión de moneda, son muy útiles. Aspectos que influyen lesiones cerebrales en el lóbulo frontal del cerebro pueden afectar a la forma de procesar información numérica y geométrica, ya que el razonamiento matemático se encuentra en esta zona del cerebro alimentación el sodio, el potasio, el magnesio ayudan a la transmisión del impulso nervioso, y la vitamina b12 mantiene activa la memoria habilidades complementarias el pensamiento lógico y la visión espacial resultado de los ejercicios.
1. ...45 13...
2. las 2 y media de la mañana
3. 1.000.000.000.000.000 = mil billones de hormigas
4. 0,34
5. 58,78
6. 1/216

¿Qué es la División Sintética?

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La División Sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁x + a₀ de grado n, esto es a_n 0, entre un polinomio lineal x - c. El procedimiento para realizar esta división es muy simple, primero se toman todos los coeficientes del polinomio P(x) y la constante c, con estos se construye una especie de ''casita'' que ayudará en el proceso

                                                           

Lo primero es ''bajar'' el coeficiente a_n, a este coeficiente también lo denotamos por b_{n - 1}, luego se multiplica por la constante c, el resultado se coloca en la segunda columna y se suma al siguiente coeficiente a_{n - 1}, al resultado lo denotamos b_{n - 2}

                                                       

Este último resultado se multiplica nuevamente por c y se le suma al coeficiente a_{n - 2} y el proceso se repite hasta llegar a a₀. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por b_{n - 1},  b_{n - 2},   ^... ,  b₁,  b₀ (se inicia con b_{n - 1} pues el cociente tiene un grado menos que el dividendo), y el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de esta manera lo que se obtiene es

                                            

Así, el cociente de la división de P(x) por x - c es b_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 2} + ^... + b₁x¹ + b₀ con un residuo r, en donde los coeficientes se detallan como

b_{n - 1} = a_n

b_{n - 2} = cb_{n - 1} + a_{n - 1}

b_{n - 3} = cb_{n - 2} + a_{n - 2}

b₁ = cb₂ + a₂

b₀ = cb₁ + a₁

r = cb₀ + a₀

EJEMPLO 1 (División Sintética)  
Realice la división de P(x) = 3x⁴ + 2x³ - x² + 4x + 2 entre x + 2.

Solución

Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c se obtiene

                                                                

Así, el cociente de la división de P(x) entre x + 2 es 3x³ - 4x² + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.

Forma ''encebollada'' del polinomio P(x)

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Se tomará el polinomio P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁x + a₀ y lo vamos a factorizar para expresarlo de forma ''encebollada'', para esto se saca a factor común la variable x y se repite el proceso n - 1 veces, veamos

  P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁x + a₀    P(x) = (a_nx^{n - 1} + a_{n - 1}x^{n - 2} +...+ a₂x + a₁)x + a₀    P(x) = ((a_nx^{n - 2} + a_{n - 1}x^{n - 3} +...+ a₃x + a₂)x + a₁)x + a₀

 
   P(x) = (((...(((a_nx + a_{n - 1})x + a_{n - 2})x + a_{n - 3})x +...+ a₃)x + a₂)x + a₁)x + a₀

Esta manera de expresar al polinomio es la mejor para evaluar los polinomios en programas de computación, en los cursos de algoritmos se encuentra que genera menos errores y es más eficiente. Si se evalúa este polinomio en c se obtiene

P(c) = (((...(((a_nc + a_{n - 1})c + a_{n - 2})c + a_{n - 3})c +...+ a₃)c + a₂)c + a₁)c + a₀

Ahora se verá cómo es que se evalúa al polinomio, se inicia con a_n, luego se multiplica por c y se le suma a_n-1, al resultado obtenido anteriormente se le multiplica por c y se le suma a_{n - 2}, y así sucesivamente hasta llegar a sumar el valor a₀; a estos resultados parciales se les denotará como b_{n - 1},  b_{n - 2},...,  b₁,  b₀ y al último término que se obtiene se denotará como r, se debe observar que este último valor es la evaluación completa del polinomio, por lo que también le llamaremos P(c), así

                                    

 

Si se continúa con este proceso hasta llegar a a₀ se puede observar que

b_{n - 1} = a_n

b_{n - 2} = b_{n - 1}c + a_{n - 1}

b_{n - 3} = b_{n - 2}c + a_{n - 2}

b₂ = b₃c + a₃

b₁ = b₂c + a₂

b₀ = b₁c + a₁

r = P(c) = b₀c + a₀

Si se comparan estos resultados con los coeficientes que se obtienen luego de efectuar el proceso de la división sintética, se observa que son equivalentes, es decir que ¡este es el mismo proceso!, lo interesante es preguntarse ¿por qué esta forma de evaluar el polinomio da los coeficientes del cociente y el residuo si se toman los resultados parciales?

Justificación de la División Sintética

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De los coeficientes descritos en la sección anterior, el más sencillo de justificar es el residuo, ya que es claro que el residuo es la evaluación del polinomio en c, es decir r = P(c).  Recordando, el teorema del residuo enuncia que si se divide un polinomio P(x) entre un polinomio lineal x - c, entonces el residuo de la división es P(c) (Ver Apéndice), con esto queda demostrado que efectivamente el último término que da la división sintética es el residuo de la división, ahora solo queda demostrar que los demás coeficientes efectivamente son los coeficientes del cociente de la división de P(x) entre x - c.

Por definición de división de polinomios, al dividir un polinomio P(x) entre x - c se debe encontrar un polinomio Q(x) tal que P(x) = (x - c)Q(x) + r, denotando a Q(x) como Q(x) = b_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 2} + ^... + b₁x + b₀ se obtiene

P(x) = (x - c)[b_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 2} + ^... + b₁x + b₀] + r

 

Desarrollando se tiene 

P(x) = b_{n - 1}xⁿ - cb_{n - 1}x^{n - 1} + b_{n - 2}x^{n - 1} - cb_{n - 2}x^{n - 2} + b_{n - 3}x^{n - 2} + ^... - cb₂x² + b₁x² - cb₁x + b₀x - cb₀ + r

Emparejando términos semejantes y factorizando cada una de estas parejas, se llega a

P(x) = b_{n - 1}xⁿ + (b_{n - 2} - cb_{n - 1})x^{n - 1} + (b_{n - 3} - cb_{n - 2})x^{n - 2} + ^... + (b₁ - cb₂)x² + (b₀ - cb₁x)x + (r - cb₀)

 

Y como, desde un inicio

P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +...+ a₁x + a₀

Y para que estas dos fórmulas sean iguales tiene que suceder que los coeficientes de cada potencia sean iguales, es decir, tiene que pasar que

b_{n - 1} = a_n

b_{n - 2} - cb_{n - 1} = a_{n - 1}

b_{n - 3} - cb_{n - 2} = a_{n - 2}

b₁ - cb₂ = a₂

b₀ - cb₁ = a₁

r - cb₀ = a₀

Y, por último, al despejar el primer término en cada igualdad se obtiene

 

b_{n - 1} = a_n

b_{n - 2} = a_{n - 1} + cb_{n - 1}

b_{n - 3} = a_{n - 2} + cb_{n - 2}

b₁ = a₂ + cb₂

b₀ = a₁ + cb₁

r = a₀ + cb₀

 

¡Los mismos coeficientes que se obtienen por división sintética! Esta es la razón por la que el procedimiento de la división sintética funciona, los coeficientes del cociente al dividir un polinomio entre un polinomio lineal se obtienen multiplicando cada resultado parcial por c y sumándole el coeficiente siguiente, iniciando con el valor de a_n.  Hay que hacer el comentario que la división sintética sólo funciona cuando se divide por un polinomio lineal x - c, si se divide por algún otro polinomio se debe hacer la división larga o factorizar el divisor y dividir por cada uno de los factores (este procedimiento sólo funciona si todos los factores, excepto tal vez el último, dan como residuo cero).

Apéndice   

Definición 1 (División de Polinomios)  
Sea P(x) cualquier polinomio y sea S(x) un polinomio no nulo, entonces existen dos únicos polinomios Q(x) y R(x) tales que

P(x) = S(x)Q(x) + R(x)

en donde el grado de R(x) es menor que el grado de S(x). Los polinomios Q(x) y R(x) son el cociente y el residuo de la división de P(x) entre S(x), respectivamente. Los polinomios P(x) y S(x) son el dividendo y el divisor, respectivamente.

TEOREMA 1 (Teorema del Residuo)  
Si c es una constante y un polinomio P(x) es dividido por x - c, entonces el residuo obtenido es igual a P(c), lo cual es la evaluación de P(x) en c.

Demostración

Como el grado del polinomio que se obtiene de residuo es menor que el grado del divisor y en este caso el divisor es de grado uno, entonces el residuo es una constante, denotemos a este residuo con r y el cociente con Q(x), por la definición de división de polinomio P(x) se puede expresar como

P(x) = (x - c)Q(x) + r

Ahora, si se evalúa esta última expresión en c se obtiene

P(c) = (c - c)Q(c) + r

P(c) = r

Por lo tanto, el residuo es igual a P(c)

Bibliografía

---

1

Cárdenas, H. et all. ''Álgebra Superior''. Triga, México, 1973.

2

Dickson, L. ''New First Course in the Theory of Equations''. Jhon Wiley and Sons, New York, 1962.